applicazioni ed esercizi - Sito personale di Claudio Pipitone

(in queste pagine il termine "accellerazioni" è scritta con la "doppia elle", per distinguere l'accellerazione a=dv/ds qui trattata, dall'accelerazione a=d2s/dt2 della fisica convenzionale)

ESERCIZI ED ESEMPI DI APPLICAZIONI DEL CONTINUUM DELLE ACCELLERAZIONI

Superamento del paradosso di Zenone nel continuum delle accellerazioni

Considerare gli eventi sempre come moti del tipo s=f(v), consente di superare, ad esempio, il famoso paradosso di Zenone, che rimane tale ed Achille non potrà mai raggiungere la Tartaruga, solo se il moto di Achille viene considerato esclusivamente in termini di differenziali spaziali e le relative misure sono eseguite esclusivamente dal punto di vista della sola dimensione spaziale, svincolata dal moto.
Ma se rappresentiamo gli spostamenti di Achille in termini di moto e quindi vincolati ad essere rappresentati da una relazione del tipo spazio-velocità secondo il modello concettuale s=f(v) del "continuum delle accellerazioni", ecco che allora anche dal punto di vista matematico diventa subito chiaro che Achille può raggiungere la Tartaruga ed effettivamente la raggiunge, solo e soltanto se Va > Vt ove:

Va=Velocità di Achille
Vt=Velocità della Tartaruga

Nel nostro "continuum delle accellerazioni" si può rappresentare quanto sopra nel modo seguente.

Poste le seguenti condizioni:

So = posizione iniziale di Achille
S1 = posizione iniziale della Tartaruga
So < S1 (Achille non deve avere la stessa posizione iniziale della Tartaruga od averla raggiunta )
(S1 - So) = spazio iniziale di vantaggio della Tartaruga su Achille
Sx = punto in cui Achille raggiunge la tartaruga
Vo = 0 = velocità da fermo sia di Achille sia della Tartaruga
V1 = So(v1) = S1(v1) = Sx(v1) velocità sia di partenza sia di crociera della Tartaruga
V2 = So(v2) = s1(v2) = Sx(v2) velocità sia di partenza sia di crociera di partenza di Achille

V2 > V1; (condizione che deve essere puntualmente soddisfatta affinché Achille possa raggiungere la tartaruga)
Ao = zero = accellerazione di crociera sia di Achille sia della Tartaruga
A1 = (V1-Vo) = accellerazione puntuale della Tartaruga nel punto S1
A2 = (V2-Vo) = accellerazione puntuale di Achille nel punto So
A2 > A1; (condizione che deve essere puntualmente soddisfatta nei rispettivi punti di partenza, affinché Achille possa raggiungere la tartaruga)

    S  
    ^         ^             ^

    |          |              |
    |          |              |
    |          |              |
Sx |-----Sx(v1)--------Sx(v2)

|           |             |

    |           |             |

    |           |             |

So O-----So(v1)-------So(v2)----------->  v
   Vo       V1            V2

Affinché Achille raggiunga la tartaruga nel punto Sx, il moto di Achille descritto nel "continuum delle accellerazioni" compiuto  a velocità V2 deve essere superiore al moto descritto dalla tartaruga a velocità V1 considerato separatamente a partire dalla posizione iniziale di Achille s0 e cioè deve esistere ed essere maggiore di zero il rettangolo
A= [So(v1), Sx(v1), Sx(v2), So(v2)]
il quale quantifica il moto aggiuntivo compiuto nel "continuum delle accellerazioni" da Achille alla velocità v2 rispetto al moto rappresentato dal rettangolo B = [S1, Sx, Sx(v1), S1(v1)] compiuto dalla tartaruga alla velocità V1 incluso il vantaggio di spazio concesso alla tartaruga a partire dalla posizione iniziale so di Achille.
Ora poiché affinché Achille che procede alla velocità V2 raggiunga nel punto Sx la tartaruga che procede alla velocità V1, è necessario che il rettangolo A (moto aggiuntivo compiuto a velocità V2 da Achille rispetto al moto della tartaruga compiuto alla velocità V1) uguagli il rettangolo C = [So, S1, S1(v2), So(v2] che rappresenta il moto aggiuntivo che Achille deve compiere alla velocità V2 per portarsi al punto iniziale S1 del moto della tartaruga in modo da azzerare il vantaggio iniziale di spazio concesso alla tartaruga, si ha la relazione:

[So(v2) - So(v1)] *[Sx(v1) - So(v1)] = [So(v2) - So] * (S1 - So)

e cioè:

[So(v2) - So(v1)] *(Sx - So) = [So(v2) - So] * (S1 - So)

e posto So = zero = punto di partenza di Achille

(V2-V1) * Sx = V2 * S1

da cui

Sx = V2*S1/(V2-V1)

che indica il punto in cui Achille raggiunge la tartaruga.
Ora per valori di V1 = 0 (cioè se la tartaruga resta ferma mentre Achille muove verso di lei per raggiungerla) si avrà che

Sx = S1 come infatti deve essere

e se invece la tartaruga si avvia nel punto s1 con moto a velocità V1 # 0 mentre Achille a sua volta si avvia nel punto so con velocità V2 > V1, si ottiene che Achille raggiungerà la tartaruga in un punto

Sx > S1 come infatti deve essere.

Quindi nel "continuum delle accellerazioni" rappresentato dalla legge del moto s=f(v), si dimostra che Achille raggiunge effettivamente la tartaruga, dopo aver percorso uno spazio pari a:
Sx = V2*S1/(V2-V1)
in funzione delle due variabili indipendenti V1 e V2.
Si può dunque dimostrare che, per qualsiasi valore reale di V1 e di V2, esiste sempre un valore reale ed univoco di spazio "S" in cui Achille raggiunge effettivamente la tartaruga per effetto del moto.

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Moto rettilineo oscillatorio periodico a velocità costante

La sua formulazione matematica nel c.d.a. è la seguente:

v - [v0*(-1)^Int(s/s1)] = 0                        (1)

Vogliamo descrivere ora un moto a traiettoria chiusa, lungo un segmento di retta, in cui un punto P si muove avanti ed indietro con moto rettilineo oscillatorio periodico a velocità costante.
Cominciamo innanzi tutto a considerare il modello bidimensionale visuale del c.d.a. (questo acronimo è usato per abbreviare l'espressione "continuum della accellerazioni") utilizzando il diagramma cartesiano piano bidimensionale già descritto nella sezione precedente.
Prendiamo come esempio concreto di questo tipo di moto, ad esempio, una insegna luminosa composta da una fila di lampadine che si accendono in successione e che vengono usate per comporre quelle scritte che ai nostri occhi appaiono in movimento; immaginiamo quindi un'insegna rettilinea formata da una successione spaziale lineare di lampadine.
Immaginiamo poi che le lampadine si accendano e si spengano ad una ad una in successione nell'intervallo di spazio lineare dell'insegna, con continuità, fra i due punti estremi e che allo spegnimento della lampadina ennesima su uno dei due estremi inizi il percorso di accensione in successione spaziale a ritroso della lampadina n-1, n-2, ecc..., fino a ripercorrere di nuovo lo spazio fisico dell'insegna, punto per punto e quindi lampadina per lampadina.
Nel nostro diagramma cartesiano piano bidimensionale, lo spazio percorso dal moto è rappresentato dalla successione progressiva crescente delle ordinate e pertanto la corrispondenza con l'evento osservato è univoca.
E' evidente come la curva passi dal quadrante positivo delle velocità a quello negativo con un andamento del tipo descritto nella figura 1, che raffigura il caso del moto rettilineo oscillatorio periodico a velocità costante espresso dalla formula matematica:

v - [v0*(-1)^Int(s/s1)] = 0

               
          s ^
              |
   |          |
   |          |
   |          |

Per il moto in esempio, moto rettilineo oscillatorio periodico con v=costante, il vettore velocità ha modulo e direzione sempre costanti e solamente il verso si inverte periodicamente e puntualmente ai due estremi opposti del segmento con periodo spaziale "s1". Nel c.d.a. un "periodo" non è un intervallo temporale come nella fisica ortodossa, ma è un intervallo spaziale e la "frequenza" non é il numero di intervalli temporali (cioè periodi dello spazo-tempo) nell'unita' di tempo così come nella fisica tradizionale essa viene assunta come unità di riferimento dell'osservazione temporale dell'evento, ma nel c.d.a. la "frequenza" è il numero di intervalli spaziali (cioè periodi del c.d.a.) nell'unità di spazio costituente l'intervallo di osservazione spaziale dell'evento stesso!
In questo esempio, trattandosi dell'accensione di lampadine, non si considerano presenti le masse e l'accellerazione è considerata limitatamente al solo verso e quindi in questo caso la lampadina posta in uno dei due estremi dell'insegna indica sia l'inizio sia la fine ciclo.
Le condizioni da assumere per lo spazio percorso sul segmento nella successione infinita dei periodi spaziali, sono:

0 < s < +infinito                (2)

Le coppie di valori (v,s) sono sempre univocamente determinate, poiché i valori di "s" sono compresi nell'intervallo (2) e quindi s non assume mai due valori uguali, anche se nelle n coppie formatesi durante il moto, i valori di v sono sempre costanti (tranne ed unicamente nei punti s1, s2, .... sn) e quindi nella successione di coppie (v,s), v é un valore che si mantiene sempre costante durante l'intero periodo spaziale e pari, alternativamente, a +vo e -vo (tranne nei punti di inversione di segno della "v" in cui nello stesso punto abbiamo la singolarità di avere in ciascun punto sn due valori di v, +/- v)
Le coppie di valori in questi punti di singolarità durante il moto a regime, saranno quindi del tipo:

(vo,s0);(v,s1);(v,s2);(v,s3);(v,s4);...;(v,sn)

ove

s0=0; s1=s1; s2=2s1; s3=3s1...; sn=ns1            (3)

Per i valori intermedi compresi negli intervalli di ciascun periodo

[+vo,(s1-s0)]; [-vo,(s2-s1)]; [+vo,(s3-s2)];....; [vn,(s(n+1)-sn)]

il valore di s sarà sempre univoco nella coppia di stato (v,s) e la (2) e la (3) restano verificate.
L'andamento di questa funzione è dunque discontinuo poiché il punto che va avanti ed indietro sul segmento di linea inverte in modo puntuale rispetto allo spazio solamente il verso del suo vettore, lasciando immutato il modulo e la direzione (cosa peraltro non facile da riscontrare in natura...).
Per dirla in termini spaziotemporali, l'inversione di segno è istantanea nei due punti estremi del segmento (nel c.d.a. invece, si usa il termine "puntuale" per indicare l'istantaneità).
Il segmento con il punto che si muove avanti ed indietro a velocità costante in modulo e direzione costituisce, a tutti gli effetti, un misuratore di cicli di moto lungo una traiettoria rettilinea chiusa e quindi esso costituisce un "tachimetro", cioè un misuratore di moto secondo la convenzione del c.d.a. ovvero, sempre secondo la convenzione del c.d.a., potrebbe anche essere assunto a svolgere il ruolo di un "orologio" secondo il criterio della fisica convenzionale, poiché sfruttando lo stesso principio del pendolo gravitazionale è idoneo a misurare il moto dello "scorrere" del tempo così come esso viene concepito nella fisica tradizionale e misurato attraverso all'orologio a pendolo.
Lo spazio S espresso dal diagramma cartesiano piano bidimensionale del c.d.a., si potrebbe anche definire lo spazio "proprio" del moto, mentre il segmento di spazio costituente l'intervallo misurato dallo sperimentatore sull'insegna luminosa, si potrebbe anche definire lo spazio "relativo" (cioè la traiettoria identificata dall'osservatore nel proprio sistema di riferimento) essendo appunto relativo all'osservatore, allo sperimentatore stesso; quindi il periodo del moto e l'oscillazione periodica, relativamente all'osservatore sono solamente delle apparenze, mentre in realtà il moto vede se stesso sempre in un'unica, continua e progressiva generazione di nuovo spazio con valori positivi sempre crescenti dello spazio stesso a partire dal punto di inizio del moto fino al cessare di esso, a prescindere dall'andamento delle velocità e quindi dell'accellerazione dv/ds.
Tenere sempre ben presente la cosmogonia del c.d.a. è indispensabile per capire la natura reale, fisica e concreta dei fenomeni e degli eventi, e per dare loro la corretta interpretazione e descrizione matematica.
Questo perché il moto, generando esso stesso lo spazio di cui ha bisogno per propagarsi, ad ogni passata genera sempre del nuovo spazio positivo relativamente a se stesso, cioè relativamente al moto stesso (di qui la definizione di "spazio proprio del moto").

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